计算∫dx/[1+(1-x^2)^1/2]?
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/06 17:13:32
∫dx/[1+(1-x^2)^1/2] (解题时设x=sint)
求结果的时候(t=arcsinx)有一项是tan(t/2)需要把t带进去求最后的值!但是tan(t/2)我算的结果是(1+(1-x^2)^0.5)/x 和
(1-(1-x^2)^0.5)/x,而答案只取了后者,为什么?是我算错了?
求结果的时候(t=arcsinx)有一项是tan(t/2)需要把t带进去求最后的值!但是tan(t/2)我算的结果是(1+(1-x^2)^0.5)/x 和
(1-(1-x^2)^0.5)/x,而答案只取了后者,为什么?是我算错了?
设 x = sint, -PI/2 <= t <= PI/2. t = arcsinx
dx = costdt,
∫dx/[1+(1-x^2)^1/2]
= ∫costdt/[1+cost]
= ∫dt - ∫dt/[1+cost]
= t - ∫dt/{2[cos(t/2)]^2}
= t - ∫[sec(t/2)]^2dt/2
= t - tan(t/2) + C
= arcsinx - tan[(arcsinx)/2] + C
这样不就作完了吗?
一定要算tan[(arcsinx)/2]吗?
tan[(arcsinx)/2] = sin[(arcsinx)/2]/cos[(arcsinx)/2]
= 2{sin[(arcsinx)/2]}^2/{2cos[(arcsinx)/2]sin[(arcsinx)/2]}
= [1 - cos(arcsinx)]/sin(arcsinx)
= [1 - cos(arcsinx)]/x
-PI/2 <= arcsinx <= PI/2,
0 <= cos(arcsinx) = {1 - [sin(arcsinx)]^2}^(1/2)
= [1 - x^2]^(1/2)
所以,
tan[(arcsinx)/2] = [1 - cos(arcsinx)]/x
= [1 - (1 - x^2)^(1/2)]/x
你是不是还考虑了cos(arcsinx)为负的情况。。多虑了。
所以,在不定积分的变量代换时,最好限制一下代换变量的变化范围。